Black-Scholes-Rechner

Was ist ein Black-Scholes-Optionspreisrechner?

Ein Black-Scholes-Optionspreisrechner ist ein Tool, das den fairen theoretischen Wert einer europäischen Call- und Put-Option aus fünf Eingaben mithilfe des Black-Scholes-Modells berechnet: dem Spotpreis des Basiswerts, dem Strike-Preis, der Zeit bis zum Verfall, der Volatilität und dem risikolosen Zinssatz. Das Black-Scholes-Modell ist die geschlossene Formel, die diese Eingaben in einen einzigen theoretischen Preis verwandelt, den Wert, den eine Option unter den Annahmen des Modells heute haben sollte. Es wurde 1973 von Fischer Black und Myron Scholes in ihrem Aufsatz „The Pricing of Options and Corporate Liabilities" veröffentlicht, wobei das Framework im selben Jahr von Robert Merton erweitert wurde, eine Arbeit, die mit dem Nobelgedächtnispreis für Wirtschaftswissenschaften 1997 gewürdigt wurde, verliehen an Scholes und Merton, da Black bereits 1995 verstorben war. Die Version, die eine kontinuierliche Dividendenrendite hinzufügt, wird oft als Black-Scholes-Merton-Modell bezeichnet. Neben den beiden Preisen liefert der Rechner die fünf Options-Griechen, die Sensitivitäten, die zeigen, wie der Preis reagiert, wenn sich jede Eingabe verändert, weshalb ein einzelner europäischer Kontrakt im Optionshandel sieben statt nur eine Ausgabe in einem Durchgang liefert.

Warum ist der Black-Scholes-Rechner für das Trading wichtig?

Der Black-Scholes-Rechner ist für das Trading wichtig, weil er einem Trader den fairen theoretischen Wert und die Risikosensitivität einer Option liefert, bevor er sie kauft oder verkauft, und so aus einer notierten Prämie etwas macht, das Sie beurteilen können, statt es einfach hinzunehmen. Der Preis einer Option ergibt sich nicht allein aus dem Basiswert: Er bündelt Spot, Strike, verbleibende Zeit, Volatilität und Zinssatz in einer einzigen Zahl, und ohne Modell lässt sich nicht sagen, ob die auf dem Bildschirm angezeigte Prämie im Vergleich zum fairen Wert günstig oder teuer ist. Indem er den Kontrakt aus diesen fünf Eingaben bepreist, beantwortet der Rechner die entscheidende Frage im Moment der Entscheidung, nämlich ob der Markt einen fairen Preis für das Risiko verlangt, das Sie eingehen wollen. Trader greifen darauf zurück, bevor die Order platziert wird: um einen Live-Kurs mit dem theoretischen Preis zu vergleichen, um zu sehen, wie sich der Wert verändern würde, wenn Volatilität, Zeit oder Zinssatz sich bewegen, und um die Griechen zu verstehen, die die Position steuern werden, sobald sie sie besitzen. Zuerst den fairen Wert zu lesen, ist dieselbe risikobewusste Gewohnheit, die verantwortungsvolles Online-Trading bei jedem gehebelten Instrument verlangt.

Wie verwenden Sie den Black-Scholes-Rechner?

Um den Black-Scholes-Rechner zu verwenden, geben Sie den Spotpreis, den Strike-Preis, die Tage bis zum Verfall, die Volatilität und den risikolosen Zinssatz ein, und das Tool liefert den theoretischen Call- und Put-Preis zusammen mit den fünf Griechen.

Die Schritte zur Verwendung des Black-Scholes-Rechners sind unten aufgeführt:

1. Geben Sie den Spotpreis ein. Das ist der aktuelle Marktpreis der zugrunde liegenden Aktie oder des Index, in der Formel als S dargestellt.
2. Geben Sie den Strike-Preis ein. Das ist der Preis, zu dem die Option ausgeübt werden kann, als K dargestellt, und der Referenzwert, an dem der Spot gemessen wird.
3. Legen Sie die Tage bis zum Verfall fest. Das ist die Anzahl der verbleibenden Kalendertage bis zum Verfall der Option, die das Tool in einen Bruchteil eines Jahres umrechnet.
4. Geben Sie die Volatilität ein. Das ist die erwartete annualisierte Volatilität des Basiswerts als Prozentsatz, üblicherweise die implizite Volatilität, die der Markt einpreist.
5. Geben Sie den risikolosen Zinssatz ein. Das ist der jährliche Zinssatz eines sicheren Assets wie einer kurzfristigen Staatsanleihe, eingegeben als Prozentsatz.

Unter Erweitert können Sie eine Dividendenrendite für eine dividendenzahlende Aktie oder einen Index hinzufügen, die Zinstage-Basis zwischen 365 Kalendertagen und 252 Handelstagen umschalten und die Währung festlegen; es gibt keinen Call-/Put-Schalter, da das Tool beide gleichzeitig bepreist und jede Ausgabe neu berechnet, sobald Sie auf Berechnen klicken.

Welche Formel verwendet der Black-Scholes-Rechner?

Der Black-Scholes-Rechner verwendet die Black-Scholes-Formel, die einen Call und einen Put anhand zweier Zwischengrößen, d1 und d2, bepreist, die durch die kumulative Normalverteilung geführt und mit dem diskontierten Spot und Strike kombiniert werden.

In diesen Formeln ist S der Spotpreis, K der Strike-Preis, T die Zeit bis zum Verfall in Jahren (Tage geteilt durch die Basis), σ (Sigma) die Volatilität, r der risikolose Zinssatz und q die Dividendenrendite; N() ist die kumulative Normalverteilung, sodass N(d2) näherungsweise die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit ist, dass der Call im Geld verfällt. Setzt man den Fall „am Geld, ein Jahr" ein, ergibt sich d1 = [ln(100/100) + (0,05 − 0 + 0,20²/2) × 1] / (0,20 × √1) = 0,35. Da ein Browser über keine Wahrscheinlichkeitstabellen verfügt, berechnet der Rechner N(d) mit einer gängigen Polynom-Approximation (Abramowitz und Stegun 26,2.17), die auf besser als ein Zehnmillionstel genau ist. Die Formel gilt nur für eine europäische Option und setzt voraus, dass Volatilität und Zinssatz über die Laufzeit der Option konstant bleiben.

Was ist ein Beispiel für eine Black-Scholes-Berechnung?

Ein Beispiel für eine Black-Scholes-Berechnung ist ein einjähriger Call am Geld im Wert von $10,45, wie folgt berechnet:

1. d1 und d2. Bei einem Spot von $100, einem Strike von $100, einem Jahr, 20% Volatilität und einem Zinssatz von 5% gilt T = 1 und σ√T = 0,20, sodass d1 = (0 + (0,05 + 0,02) × 1) / 0,20 = 0,35 und d2 = 0,35 − 0,20 = 0,15.
2. Normalverteilungswahrscheinlichkeiten. N(0,35) = 0.6368 und N(0,15) = 0.5596, und der Diskontfaktor ist e^(−0,05) = 0.9512.
3. Call-Preis = 100 × 0.6368 − 100 × 0.9512 × 0.5596 = 63,68 − 53,23 = $10,45.
4. Put-Preis = $5,57, was sich aus der Put-Call-Parität ergibt, Call − Put = S × e^(−qT) − K × e^(−rT).

Das Szenario ist eine europäische Option am Geld ohne Dividende, und der Rechner liefert $10,45 für den Call und $5,57 für den Put, dieselben zwei Werte, die das Beispiel von Hand ergibt.

Wie lesen Sie das Ergebnis des Black-Scholes-Rechners?

Sie lesen das Ergebnis des Black-Scholes-Rechners, indem Sie Call- und Put-Preis nebeneinander betrachten und dann die Moneyness, das Verhältnis von Spot zu Strike (S/K), und das Delta prüfen, die Ihnen zusammen zeigen, wo die Option steht und wie sie sich verhalten wird. Die Moneyness entscheidet, wie viel des Preises echter, innerer Wert ist und wie viel Zeitwert, während das Delta zeigt, wie eng die Option dem Basiswert folgt.

Im Beispiel am Geld bedeutet das Delta von +0.6368, dass der Call für jeden $1, den der Basiswert steigt, etwa $0,64 gewinnt, das typische Merkmal einer Option nahe am Geld. Unabhängig von der Moneyness gilt immer eine Regel: Theta kostet den Käufer jeden Tag Geld, bei diesem Call etwa $0.0176 pro Tag, weil die Zeit gegen denjenigen arbeitet, der die Option hält. Lesen Sie das Ergebnis als Momentaufnahme von fairem Wert und Verhalten im Jetzt, und wägen Sie es dann gegen den Marktkurs ab, bevor Sie den Trade platzieren.

Wie wirkt sich die Volatilität auf eine Black-Scholes-Berechnung aus?

Die Volatilität wirkt sich direkt auf eine Black-Scholes-Berechnung aus, weil eine höhere Volatilität sowohl den Call- als auch den Put-Preis erhöht, und sie ist die Eingabe, auf die der Preis am empfindlichsten reagiert, gemessen am Griechen Vega. Mehr Volatilität bedeutet eine größere Bandbreite möglicher Ergebnisse für den Basiswert, also eine höhere Wahrscheinlichkeit, dass die Option im Geld verfällt, was sowohl für den Inhaber eines Calls als auch eines Puts wertvoller ist. Sie ist auch die einzige Eingabe, die Sie nicht einfach nachschlagen können: Spot, Strike, Zeit und Zinssatz sind alle beobachtbar, aber Volatilität ist eine Prognose. Trader verwenden normalerweise die implizite Volatilität, die der Markt bereits in diese Option einpreist, statt der historischen Volatilität, die der Basiswert in der Vergangenheit gezeigt hat, weil die implizite Volatilität widerspiegelt, was der Markt für die Zukunft erwartet. Das macht die Volatilität zur entscheidenden Eingabe der Optionsbepreisung: Eine kleine Änderung des eingegebenen Werts bewegt den theoretischen Preis stärker als eine gleichwertige Änderung in jedem anderen Feld, sodass eine ehrliche Einschätzung der Marktvolatilität hier mehr zählt als an jeder anderen Stelle des Modells.

Was sind die Grenzen des Black-Scholes-Rechners?

Die Hauptgrenze des Black-Scholes-Rechners ist, dass er eine theoretische Schätzung liefert, keinen Marktpreis, und diese Schätzung ist nur so gut wie die Volatilität, die Sie eingeben. Das Modell bepreist eine saubere, idealisierte Option, sodass mehrere Merkmale eines realen Marktes außen vor bleiben. Es ignoriert den Bid-Ask-Spread, sodass Sie nie tatsächlich zu dem einen fairen Wert handeln, den es ausweist. Es geht von konstanter Volatilität über alle Strikes hinweg aus, was reale Märkte durch den Volatility Skew oder Smile widerlegen, bei dem die implizite Volatilität je nach Strike und Verfall variiert, eine gut dokumentierte Abweichung, die in Hulls „Options, Futures, and Other Derivatives" behandelt wird. Es behandelt Dividenden als gleichmäßige, kontinuierliche Rendite statt als die diskreten Dividenden, die tatsächlich zu festgelegten Terminen gezahlt werden. Und es bepreist ausschließlich europäische Optionen, also solche, die nur bei Verfall ausgeübt werden können, sodass es den Wert der vorzeitigen Ausübung bei amerikanischen Optionen nicht erfasst, die bei US-Einzelaktien üblich sind und stattdessen mit Binomialbäumen bepreist werden, der Methode, die Cox, Ross und Rubinstein 1979 einführten. Es setzt zudem einen konstanten Zinssatz voraus und sagt nichts darüber aus, ob ein Trade eine gute Idee ist. Betrachten Sie das Ergebnis als gut fundierten Referenzwert, an dem Sie einen Kurs messen können, nicht als Garantie dafür, was Sie zahlen oder erhalten werden, und denken Sie daran, dass es sich um Bildungsinformationen handelt, nicht um Anlageberatung.

Wie berechnet der Black-Scholes-Rechner die fünf Options-Griechen?

Der Black-Scholes-Rechner berechnet die fünf Options-Griechen, Delta, Gamma, Theta, Vega und Rho, die jeweils messen, wie der Optionspreis reagiert, wenn sich eine Eingabe verändert, während die anderen konstant bleiben. Sie sind das Multi-Output-Markenzeichen des Rechners, und ihre Lektüre zeigt Ihnen, wie sich die Position verhalten wird, sobald Sie sie besitzen.

Lesen Sie sie als Sensitivitäten. Delta nahe 0,5 kennzeichnet eine Option am Geld und steigt Richtung 1, wenn ein Call ins Geld läuft; Gamma misst, wie schnell sich dieses Delta verschiebt, weshalb es nahe am Strike und nahe am Verfall am größten ist. Theta ist die tägliche Kosten des Zeitwertverfalls, der sich beschleunigt, je näher der Verfall rückt, während Vega zeigt, dass ein Anstieg der impliziten Volatilität um 1 Punkt dieser Option etwa $0,38 hinzufügt, was die Volatilität als größten Hebel auf den Preis bestätigt. Rho ist meist der kleinste der fünf und zählt am meisten bei langlaufenden Optionen. Gamma und Vega sind für Call und Put identisch, während Delta, Theta und Rho auf jeder Seite entgegengesetzte Vorzeichen tragen, weshalb der Rechner beide anzeigt.

Was ist der Unterschied zwischen einer Black-Scholes-Berechnung und einer Optionsgewinn-Berechnung?

Eine Black-Scholes-Berechnung unterscheidet sich von einer Optionsgewinn-Berechnung darin, was sie misst und wann: Eine Black-Scholes-Berechnung liefert den fairen theoretischen Wert einer Option jetzt, vor dem Verfall, bestimmt durch Volatilität, Zeit und Zinssatz, während eine Optionsgewinn-Berechnung den Gewinn oder Verlust einer Position bei Verfall liefert, der nur davon abhängt, wo der Basiswert im Verhältnis zum Strike landet.

Der praktische Unterschied ist, dass die beiden Tools unterschiedliche Fragen beantworten und für dieselbe Option unterschiedliche Zahlen liefern. Black-Scholes sagt Ihnen, was der Kontrakt heute wert sein sollte, damit Sie seine notierte Prämie beurteilen können, während eine Optionsgewinn-Berechnung Ihnen sagt, was eine Position gewinnen oder verlieren würde, wenn der Basiswert bei Verfall einen bestimmten Preis erreicht. Sie verwenden diesen Rechner, um die Option zu bepreisen, bevor Sie den Trade eröffnen, und einen Gewinnrechner, um den Payoff abzubilden, sobald Sie den Ausstieg abwägen.

Welche Rechner stehen im Zusammenhang mit dem Black-Scholes-Rechner?

Die Rechner, die mit dem Black-Scholes-Rechner verwandt sind, befinden sich im selben Options-Pricing- und Gewinn-Workflow, vom fairen Wert eines Kontrakts vor Verfall bis zum Gewinn oder Verlust, den er beim Schließen einer Position hinterlässt.

Die mit dem Black-Scholes-Rechner verwandten Rechner sind unten aufgeführt:

• Optionsgewinn-Rechner: berechnet den Gewinn oder Verlust bei Verfall einer Optionsposition, die Payoff-Seite, die dieses Pricing-Tool auslässt.
• Covered-Call-Rechner: modelliert die Einkommensstrategie, den Basiswert zu halten und einen Call dagegen zu verkaufen, ein üblicher erster Schritt in den Optionshandel.
• Aktiengewinn-Rechner: berechnet den Gewinn oder Verlust der zugrunde liegenden Aktien selbst, ohne den Hebel, den eine Option hinzufügt.
• Prozentgewinn-Rechner: drückt ein Ergebnis als prozentuale Rendite aus, nützlich, um das Ergebnis einer Option gegen die riskierte Prämie zu vergleichen.

FAQ

Dieses Tool dient der Bildung, nicht der Finanzberatung. Das Black-Scholes-Modell liefert einen theoretischen Preis für eine europäische Option, und reale Marktpreise weichen aufgrund des Bid-Ask-Spreads, des Volatility Skew, diskreter Dividenden und vorzeitiger Ausübung davon ab. Der Optionshandel birgt ein hohes Verlustrisiko, einschließlich der gesamten gezahlten Prämie.